Математик знайшов оптимальний спосіб переміщення дивана коридором

Математик з Південної Кореї представив розвʼязання відомої математичної задачі про переміщення дивана, яка не мала відповіді з 1966 року. У результаті розрахунків науковець показав, що для коридору шириною одну одиницю максимальна площа дивана може становити 2,2195 одиниці. Таке рішення ілюструє, як математичні методи можна застосувати для повсякденних завдань. Свої докази автор виклав у статті на платформі arXiv.

Так в чому була проблема пересунути диван?

Уявіть, що потрібно перенести великий диван через Г-подібний коридор із кутом повороту на 90 градусів. Легко зрозуміти, що, наприклад, квадратне крісло площею одну квадратну одиницю може проскочити без зайвих труднощів, а от більший прямокутний об'єкт, як диван із площею від двох квадратних одиниць, може застрягти. У 1966 році математик Лео Мозер поставив питання: як визначити «константу дивана» — тобто найбільшу площу об'єкта у двовимірному просторі, що здатен пройти через такий поворот? Задача швидко здобула популярність, адже поєднує геометричне моделювання, оптимізацію та вивчення руху.

Для квадратів і прямокутників аналіз простий, але їхня площа залишається малою. У 1992 році Джозеф Гервер, використовуючи складні аналітичні криві, сконструював диван із 18 плавними дугами, чия площа сягнула 2,2195 одиниці. Втім, невідомо було напевне, чи є ця форма оптимальною. У 2018 році дослідники застосували компʼютерне моделювання і показали, що верхня межа може бути близько 2,37 одиниці, але оптимальний диван так і не знайшли. Нове рішення тепер запропонував корейський математик, який використав попередню модель Герверa і довів її оптимальність.

Як проводили розрахунки?

Південнокорейський науковець Бек Джиньон (Jineon Baek) виклав у статті суворе обґрунтування для свого рішення, засноване на чіткому формулюванні геометричних умов задачі й аналізі руху через інʼєктивні функції. Так називають функції, у яких кожному елементу області визначення відповідає лише один унікальний елемент області значень. Це дозволило перевірити, як саме форма рухається в Г-подібному коридорі з шириною одну умовну одиницю, і не пропустити жодної критичної конфігурації. Результат підтвердив, що максимальна площа дивана таки становить 2,2195 умовної одиниці, і підтвердив, що згадана форма є оптимальною.

Математик узяв модель, що складається з 18 плавних дуг, і довів, що така форма дозволяє дивану оптимально вміститися в коридорі, маючи при цьому найбільшу площу, можливу для проходження крізь кут у 90 градусів. Щоб підтвердити це, дослідник застосував комбінацію геометричного моделювання й строгих математичних методів. Дослідник врахував усі обмеження: розмір коридору, кут повороту, щоб диван не зачіпав стіни. Це створило дуже точну модель: вона не тільки вказала на оптимальну форму, а й довела, що жодна інша з більшою площею не зможе пройти через цей коридор. Додаткові перевірки через компʼютерне моделювання підтвердили розрахунки.

Яке застосування може мати розв’язання цієї задачі?

Розуміння оптимальної форми дивана допоможе розробляти меблі, які легше транспортувати в обмежених просторах. Аналіз руху складних форм стане у пригоді під час створення алгоритмів для автономних роботів, які орієнтуються у тісних приміщеннях. Знання про такі оптимальні конструкції можуть допомогти в проєктуванні ефективних проходів, ліфтів або вентиляційних систем.

Які ще досягнення у математиків?

🍺 Дослідник за допомогою диференційних рівнянь вивів ідеальну форму келиха для збереження пива холодним якнайдовше. Такий келих має мати вузьку основу та широкий верх.

🙈 Математики порахували шанси мавп надрукувати твори Шекспіра, випадково натискаючи на клавіші друкарської машинки: виявилося, що навіть за весь час існування Всесвіту їм це не вдасться.

🥇 Українська математикиня Марина В’язовська отримала медаль Філдса за розв'язок задачі з пакування куль у восьмивимірному просторі. Про свій шлях у математиці, роль освіти та отримання медалі науковиця розповіла в інтерв’ю.

---